複素数の割り算 $ \frac{1+i}{1-i} $ を計算して、結果を求めます。

1. 問題の内容

複素数の割り算 $\frac{1+i}{1-i}$ を計算して、結果を求めます。

2. 解き方の手順

複素数の割り算を行うには、分母の複素共役を分子と分母の両方に掛けます。

$1-i$ の複素共役は $1+i$ です。したがって、以下の計算を行います。

$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

分子を展開します。

$(1+i)(1+i) = 1 + i + i + i^2 = 1 + 2i + i^2$

$i^2 = -1$ であるため、

$1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

分母を展開します。

$(1-i)(1+i) = 1 + i - i - i^2 = 1 - i^2$

$i^2 = -1$ であるため、

$1 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

したがって、元の式は以下のようになります。

$\frac{1+i}{1-i} = \frac{2i}{2} = i$

3. 最終的な答え

$i$