与えられた関数 $y = 2x^2 - 7x - 5$ のグラフ上の点 $(3, -8)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 2x^2 - 7x - 5$ のグラフ上の点 $(3, -8)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y = 2x^2 - 7x - 5$ の導関数は

$y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 7x - 5) = 4x - 7$

次に、点 $(3, -8)$ における接線の傾き $m$ を求めるために、導関数 $y'$ に $x = 3$ を代入する。

$m = y'(3) = 4(3) - 7 = 12 - 7 = 5$

したがって、接線の傾きは $5$ である。

次に、点 $(3, -8)$ を通り、傾きが $5$ の直線の方程式を求める。

点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾き $m$ の直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で与えられる。

この場合、$x_1 = 3$, $y_1 = -8$, $m = 5$ であるから、接線の方程式は

$y - (-8) = 5(x - 3)$

$y + 8 = 5x - 15$

$y = 5x - 15 - 8$

$y = 5x - 23$

3. 最終的な答え

$y = 5x - 23$