与えられた定積分 $\int_{0}^{2} \frac{2x}{x^2+4} dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{2} \frac{2x}{x^2+4} dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{2x}{x^2+4}$ を積分するために、置換積分法を用いる。

$u = x^2+4$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ より $du = 2x \, dx$となる。

したがって、与えられた積分は $\int \frac{1}{u} \, du$ と書き換えられる。

積分区間も変更する必要がある。

$x=0$ のとき、$u = 0^2 + 4 = 4$。

$x=2$ のとき、$u = 2^2 + 4 = 8$。

したがって、与えられた定積分は

$\int_{4}^{8} \frac{1}{u} \, du$

となる。

$\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C$ であるから、

$\int_{4}^{8} \frac{1}{u} \, du = [\ln|u|]_{4}^{8} = \ln|8| - \ln|4| = \ln 8 - \ln 4 = \ln \frac{8}{4} = \ln 2$

3. 最終的な答え

$\ln 2$