次の不定積分を求めよ。 (1) $\int e^x \cos x \, dx$ (2) $\int e^x \sin 2x \, dx$ (3) $\int e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) \, dx$ (4) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$

## 問題の解答

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

(1) $\int e^x \cos x \, dx$

(2) $\int e^x \sin 2x \, dx$

(3) $\int e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) \, dx$

(4) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$

2. 解き方の手順

**(1) $\int e^x \cos x \, dx$**

部分積分を2回行うことで解けます。

$I = \int e^x \cos x \, dx$ とする。

$u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、 $du = -\sin x \, dx$, $v = e^x$ なので、

$I = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$

さらに部分積分を行う。

$u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、 $du = \cos x \, dx$, $v = e^x$ なので、

$I = e^x \cos x + (e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx) = e^x \cos x + e^x \sin x - I$

$2I = e^x (\cos x + \sin x)$

$I = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$

**(2) $\int e^x \sin 2x \, dx$**

部分積分を2回行うことで解けます。

$I = \int e^x \sin 2x \, dx$ とする。

$u = \sin 2x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、 $du = 2\cos 2x \, dx$, $v = e^x$ なので、

$I = e^x \sin 2x - \int e^x (2\cos 2x) \, dx = e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx$

さらに部分積分を行う。

$u = \cos 2x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、 $du = -2\sin 2x \, dx$, $v = e^x$ なので、

$I = e^x \sin 2x - 2(e^x \cos 2x - \int e^x (-2\sin 2x) \, dx) = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4 \int e^x \sin 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4I$

$5I = e^x (\sin 2x - 2\cos 2x)$

$I = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2\cos 2x) + C$

**(3) $\int e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) \, dx$**

部分積分を2回行うことで解けます。

$I = \int e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) \, dx$ とする。

$u = \cos(\omega x + \alpha)$, $dv = e^{-kx} \, dx$ とすると、 $du = -\omega\sin(\omega x + \alpha) \, dx$, $v = -\frac{1}{k} e^{-kx}$ なので、

$I = -\frac{1}{k} e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) - \int (-\frac{1}{k} e^{-kx}) (-\omega\sin(\omega x + \alpha)) \, dx = -\frac{1}{k} e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) - \frac{\omega}{k} \int e^{-kx} \sin(\omega x + \alpha) \, dx$

さらに部分積分を行う。

$u = \sin(\omega x + \alpha)$, $dv = e^{-kx} \, dx$ とすると、 $du = \omega\cos(\omega x + \alpha) \, dx$, $v = -\frac{1}{k} e^{-kx}$ なので、

$I = -\frac{1}{k} e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) - \frac{\omega}{k} (-\frac{1}{k} e^{-kx} \sin(\omega x + \alpha) - \int (-\frac{1}{k} e^{-kx}) (\omega\cos(\omega x + \alpha)) \, dx) = -\frac{1}{k} e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) + \frac{\omega}{k^2} e^{-kx} \sin(\omega x + \alpha) - \frac{\omega^2}{k^2} \int e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) \, dx = -\frac{1}{k} e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) + \frac{\omega}{k^2} e^{-kx} \sin(\omega x + \alpha) - \frac{\omega^2}{k^2}I$

$I + \frac{\omega^2}{k^2} I = \frac{k^2 + \omega^2}{k^2} I = -\frac{1}{k} e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) + \frac{\omega}{k^2} e^{-kx} \sin(\omega x + \alpha)$

$I = \frac{k^2}{k^2 + \omega^2} (-\frac{1}{k} e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) + \frac{\omega}{k^2} e^{-kx} \sin(\omega x + \alpha)) = \frac{e^{-kx}}{k^2 + \omega^2} (-k\cos(\omega x + \alpha) + \omega\sin(\omega x + \alpha)) + C$

**(4) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$**

$x = \sinh t$ と置換する。 $dx = \cosh t \, dt$

$\int \sqrt{1 + \sinh^2 t} \cosh t \, dt = \int \sqrt{\cosh^2 t} \cosh t \, dt = \int \cosh^2 t \, dt = \int \frac{1 + \cosh 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sinh 2t + C = \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \sinh t \cosh t + C = \frac{1}{2} \sinh^{-1} x + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$

(2) $\int e^x \sin 2x \, dx = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2\cos 2x) + C$

(3) $\int e^{-kx} \cos(\omega x + \alpha) \, dx = \frac{e^{-kx}}{k^2 + \omega^2} (-k\cos(\omega x + \alpha) + \omega\sin(\omega x + \alpha)) + C$

(4) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \sinh^{-1} x + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C = \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$