関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{dy}{dx} = -12x - 9$

(2) 次に、点 $(-2, -3)$ における接線の傾きを求めるために、$x = -2$ を導関数 $y'$ に代入する。

$y'(-2) = -12(-2) - 9 = 24 - 9 = 15$

したがって、接線の傾きは 15 である。

(3) 点 $(-2, -3)$ を通り、傾きが 15 の直線の方程式を求める。これは、点傾き式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使うことができる。ここで、$(x_1, y_1) = (-2, -3)$ であり、$m = 15$ である。

$y - (-3) = 15(x - (-2))$

$y + 3 = 15(x + 2)$

$y + 3 = 15x + 30$

$y = 15x + 30 - 3$

$y = 15x + 27$

3. 最終的な答え

$y = 15x + 27$