関数 $f(x) = \frac{e^x}{1-x}$ の3次導関数を求める。

## 問題 3

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{e^x}{1-x}$ の3次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の1次導関数 $f'(x)$ を求める。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

$f'(x) = \frac{e^x(1-x) - e^x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{e^x - xe^x + e^x}{(1-x)^2} = \frac{e^x(2-x)}{(1-x)^2}$

次に、$f'(x)$ の2次導関数 $f''(x)$ を求める。再び商の微分公式を用いる。

$f''(x) = \frac{e^x(2-x) - e^x + e^x(2-x)(2(1-x)(-1))}{(1-x)^4}$

$= \frac{e^x(1-x)^2(1-x) - e^x(1-x)^2 - 2e^x(2-x)(1-x)}{(1-x)^4}$

$= \frac{e^x(1-x)^2 - e^x(2-x) + e^x(1-x) + e^x(1-x)e^x4(1-x)^2}{(1-x)^4}$

$= \frac{e^x[(1-x)^2 - 2(2-x)(1-x)]}{(1-x)^4} = \frac{e^x(1-2x+x^2 - 2(2-3x+x^2))}{(1-x)^4} = \frac{e^x(1-2x+x^2 - 4 + 6x - 2x^2)}{(1-x)^4} = \frac{e^x(-x^2 + 4x - 3)}{(1-x)^4} = \frac{e^x(-(x^2 - 4x + 3))}{(1-x)^4}= \frac{e^x(-(x-1)(x-3))}{(1-x)^4}=\frac{e^x(x-3)(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{e^x(x-3)}{(1-x)^3}$

$f''(x) = \frac{e^x(x-3) + e^x(1-x) - (e^x(x-3))(3(1-x)^2(-1))}{(1-x)^6} = \frac{e^x - xe^x +e^x(1-x) -3e^x(x-3)}{(1-x)^3 (1-x)^3}$

$f''(x)=\frac{e^x(x-3)}{(1-x)^3}$

最後に、$f''(x)$ の3次導関数 $f'''(x)$ を求める。再び商の微分公式を用いる。

$f'''(x) = \frac{e^x(x-3) + e^x(1-x) (1-x)^3- (e^x(x-3))(3(1-x)^2(-1))}{(1-x)^6} = \frac{e^x(x-3) + e^x + (1-x)^4}{(1-x)^3}$

$f'''(x) = \frac{e^x(1-x)^3 - e^x(x-3)(3(1-x)^2(-1))}{(1-x)^6}$

$f'''(x) = \frac{e^x(1-x)^3 + 3e^x(x-3)(1-x)^2}{(1-x)^6}$

$f'''(x) = \frac{e^x(1-x)^2[(1-x) + 3(x-3)]}{(1-x)^6}$

$f'''(x) = \frac{e^x(1-x + 3x - 9)}{(1-x)^4} = \frac{e^x(2x-8)}{(1-x)^4} = \frac{2e^x(x-4)}{(1-x)^4}$

3. 最終的な答え

$f'''(x) = \frac{e^x(x-4)}{(1-x)^4}$

## 問題 4

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-x^2}$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$ を求める。積の微分公式を用いる。

$f'(x) = e^{-x^2} + x(-2x)e^{-x^2} = e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2} = e^{-x^2}(1-2x^2)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$e^{-x^2} > 0$ なので、$1-2x^2 = 0$ を解く。

$2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2e}}$

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2e}}$

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to 0$

したがって、最大値は $\frac{1}{\sqrt{2e}}$ で、最小値は $-\frac{1}{\sqrt{2e}}$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{\sqrt{2e}}$

最小値: $-\frac{1}{\sqrt{2e}}$

## 問題 5

1. 問題の内容

$x > 0$ において、関数 $f(x) = x^2 \log x$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$ を求める。積の微分公式を用いる。

$f'(x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2\log x + 1)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$x > 0$ なので、$2\log x + 1 = 0$ を解く。

$2\log x = -1 \implies \log x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

次に、$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = 2\log x + 1 + x\left(\frac{2}{x}\right) = 2\log x + 1 + 2 = 2\log x + 3$

$x = e^{-\frac{1}{2}}$ における $f''(x)$ の値を求める。

$f''\left(e^{-\frac{1}{2}}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = -1 + 3 = 2 > 0$

したがって、$x = e^{-\frac{1}{2}}$ で最小値をとる。

$f\left(e^{-\frac{1}{2}}\right) = \left(e^{-\frac{1}{2}}\right)^2 \log\left(e^{-\frac{1}{2}}\right) = e^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e}$

3. 最終的な答え

最小値: $-\frac{1}{2e}$