関数 $f(x) = x^2 e^{2x}$ の3次導関数 $f'''(x)$ を求める。

## 問題２

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 e^{2x}$ の3次導関数 $f'''(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、1次導関数 $f'(x)$ を求める。積の微分法を用いる。

$f'(x) = (x^2)' e^{2x} + x^2 (e^{2x})' = 2x e^{2x} + x^2 (2e^{2x}) = 2xe^{2x} + 2x^2 e^{2x}$

次に、2次導関数 $f''(x)$ を求める。

$f''(x) = (2xe^{2x} + 2x^2 e^{2x})' = (2xe^{2x})' + (2x^2 e^{2x})'$

$= (2e^{2x} + 2x(2e^{2x})) + (4xe^{2x} + 2x^2(2e^{2x})) = 2e^{2x} + 4xe^{2x} + 4xe^{2x} + 4x^2 e^{2x}$

$= 2e^{2x} + 8xe^{2x} + 4x^2 e^{2x}$

最後に、3次導関数 $f'''(x)$ を求める。

$f'''(x) = (2e^{2x} + 8xe^{2x} + 4x^2 e^{2x})' = (2e^{2x})' + (8xe^{2x})' + (4x^2 e^{2x})'$

$= 4e^{2x} + (8e^{2x} + 8x(2e^{2x})) + (8xe^{2x} + 4x^2 (2e^{2x}))$

$= 4e^{2x} + 8e^{2x} + 16xe^{2x} + 8xe^{2x} + 8x^2 e^{2x} = 12e^{2x} + 24xe^{2x} + 8x^2 e^{2x}$

$= (8x^2 + 24x + 12)e^{2x}$

3. 最終的な答え

$f'''(x) = (8x^2 + 24x + 12)e^{2x}$

## 問題3

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{e^x}{1-x}$ の3次導関数 $f'''(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、1次導関数 $f'(x)$ を求める。商の微分法を用いる。

$f'(x) = \frac{(e^x)'(1-x) - e^x(1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{e^x(1-x) - e^x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{e^x - xe^x + e^x}{(1-x)^2} = \frac{(2-x)e^x}{(1-x)^2}$

次に、2次導関数 $f''(x)$ を求める。

$f''(x) = (\frac{(2-x)e^x}{(1-x)^2})' = \frac{((2-x)e^x)'(1-x)^2 - (2-x)e^x((1-x)^2)'}{((1-x)^2)^2}$

$= \frac{((-1)e^x + (2-x)e^x)(1-x)^2 - (2-x)e^x(2(1-x)(-1))}{(1-x)^4}$

$= \frac{(1-x)e^x(1-x)^2 + 2(2-x)e^x(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{(1-x)^3 e^x + 2(2-x)e^x(1-x)}{(1-x)^4}$

$= \frac{(1-x)^2 e^x + 2(2-x)e^x}{(1-x)^3} = \frac{(1-2x+x^2)e^x + (4-2x)e^x}{(1-x)^3} = \frac{(x^2 - 4x + 5)e^x}{(1-x)^3}$

最後に、3次導関数 $f'''(x)$ を求める。

$f'''(x) = (\frac{(x^2 - 4x + 5)e^x}{(1-x)^3})' = \frac{((x^2-4x+5)e^x)'(1-x)^3 - (x^2-4x+5)e^x((1-x)^3)'}{((1-x)^3)^2}$

$= \frac{((2x-4)e^x + (x^2-4x+5)e^x)(1-x)^3 - (x^2-4x+5)e^x(3(1-x)^2(-1))}{(1-x)^6}$

$= \frac{(x^2-2x+1)e^x(1-x)^3 + 3(x^2-4x+5)e^x(1-x)^2}{(1-x)^6}$

$= \frac{(x^2-2x+1)e^x(1-x) + 3(x^2-4x+5)e^x}{(1-x)^4} = \frac{(x^2-2x+1)(1-x)e^x + 3(x^2-4x+5)e^x}{(1-x)^4}$

$= \frac{(x^2-2x+1-x^3+2x^2-x)e^x + (3x^2-12x+15)e^x}{(1-x)^4} = \frac{(-x^3+3x^2-3x+1)e^x + (3x^2-12x+15)e^x}{(1-x)^4}$

$= \frac{(-x^3+6x^2-15x+16)e^x}{(1-x)^4}$

3. 最終的な答え

$f'''(x) = \frac{(-x^3+6x^2-15x+16)e^x}{(1-x)^4}$