与えられた積分 $\int \frac{1}{x(x^2+3)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{x(x^2+3)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算します。まず、被積分関数を次のように分解します。

$\frac{1}{x(x^2+3)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+3}$

両辺に $x(x^2+3)$ を掛けて、

$1 = A(x^2+3) + (Bx+C)x = Ax^2 + 3A + Bx^2 + Cx$

整理すると、

$1 = (A+B)x^2 + Cx + 3A$

係数を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$A+B = 0$

$C = 0$

$3A = 1$

これから、$A = \frac{1}{3}$、$B = -\frac{1}{3}$、$C = 0$ がわかります。したがって、

$\frac{1}{x(x^2+3)} = \frac{1/3}{x} + \frac{-x/3}{x^2+3} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+3}\right)$

積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{x(x^2+3)} dx = \frac{1}{3} \int \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+3}\right) dx$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$

$\int \frac{x}{x^2+3} dx$ について、$u = x^2 + 3$ と置換すると、$du = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

$\int \frac{x}{x^2+3} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| = \frac{1}{2} \ln(x^2+3)$

したがって、

$\int \frac{1}{x(x^2+3)} dx = \frac{1}{3} \left(\ln|x| - \frac{1}{2} \ln(x^2+3)\right) + C = \frac{1}{3}\ln|x| - \frac{1}{6}\ln(x^2+3) + C$

より簡単にすると、

$\int \frac{1}{x(x^2+3)} dx = \frac{1}{6} (2\ln|x| - \ln(x^2+3)) + C = \frac{1}{6} \ln\left(\frac{x^2}{x^2+3}\right) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6} \ln\left(\frac{x^2}{x^2+3}\right) + C$