写像 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = x^2$ で定める。また、$S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 0\}$ と定める。このとき、$f(S_1^c)$ を求めよ。ここで、$S_1^c$ は $S_1$ の補集合を表す。

1. 問題の内容

写像 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = x^2$ で定める。また、$S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 0\}$ と定める。このとき、$f(S_1^c)$ を求めよ。ここで、$S_1^c$ は $S_1$ の補集合を表す。

2. 解き方の手順

まず、$S_1$ の補集合 $S_1^c$ を求める。

$S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 0\}$ であるから、$S_1^c = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$ である。

次に、$f(S_1^c)$ を求める。これは、$S_1^c$ の各要素を $f(x) = x^2$ で写した像の集合である。

$S_1^c = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$ なので、$f(S_1^c) = \{f(x) \mid x > 0\} = \{x^2 \mid x > 0\}$ となる。

$x > 0$ ならば、$x^2 > 0$ である。したがって、$f(S_1^c) = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}$ となる。

3. 最終的な答え

正解: $f(S_1^c) = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}$

その理由:

$S_1^c = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$ であり、$f(x) = x^2$ であるから、$f(S_1^c) = \{x^2 \mid x > 0\} = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}$ となる。