円Oにおいて、ABは直径であり、C, Dは円周上の点である。4点A, C, B, Dは図の順に並んでいる。弧BCの長さは弧ADの長さの2倍であり、$\angle BDC = 34^\circ$である。$\angle AED = x$を求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、ABは直径であり、C, Dは円周上の点である。4点A, C, B, Dは図の順に並んでいる。弧BCの長さは弧ADの長さの2倍であり、$\angle BDC = 34^\circ$である。$\angle AED = x$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理より、弧ADに対する円周角は$\angle ACD = \angle ABD$である。

同様に、弧BCに対する円周角は$\angle BDC = \angle BAC$である。したがって、$\angle BAC = 34^\circ$。

弧BC = 2ADより、$\angle BDC = 2 \angle CAD$。よって、$\angle CAD = \frac{1}{2} \angle BDC = \frac{1}{2} \times 34^\circ = 17^\circ$。

$\angle AED$は$\triangle ADE$の外角なので、

$\angle AED = \angle EAD + \angle ADE = \angle CAD + \angle ADB$。

$\angle ADB = \angle ACB$である。（同じ弧に対する円周角）

$\angle ACB = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$。

よって、$\angle ADB = 56^\circ$。

したがって、$x = \angle AED = \angle CAD + \angle ADB = 17^\circ + 56^\circ = 73^\circ$。

3. 最終的な答え

73度