$\theta$ の動径が第2象限にあり、$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{15}}$ のとき、$\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第2象限にあり、$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{15}}$ のとき、$\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{15}}$ を代入すると、

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\left(\frac{3}{\sqrt{15}}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1

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\frac{9}{15} + \cos^2 \theta = 1

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\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{15} = \frac{15-9}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

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したがって、$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{2}{5}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$ となります。

ここで、$\theta$ の動径が第2象限にあるので、$\cos \theta < 0$ である必要があります。

よって、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ です。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{10}}{5}$