点 $(1, 4)$ と直線 $y = \frac{1}{3}x - 2$ の距離を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(1, 4)$ と直線 $y = \frac{1}{3}x - 2$ の距離を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

まず、与えられた直線の式 $y = \frac{1}{3}x - 2$ を一般形 $ax + by + c = 0$ に変形します。

$y = \frac{1}{3}x - 2$ より、両辺に3をかけて $3y = x - 6$。

移項すると、 $x - 3y - 6 = 0$ となります。

したがって、$a = 1, b = -3, c = -6$ です。

また、点の座標は $(x_0, y_0) = (1, 4)$ です。

これらの値を公式に代入します。

$$d = \frac{|1 \cdot 1 + (-3) \cdot 4 + (-6)|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}}$$

$$d = \frac{|1 - 12 - 6|}{\sqrt{1 + 9}}$$

$$d = \frac{|-17|}{\sqrt{10}}$$

$$d = \frac{17}{\sqrt{10}}$$

分母を有理化すると、

$$d = \frac{17\sqrt{10}}{10}$$

3. 最終的な答え

$\frac{17\sqrt{10}}{10}$