関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5$ の $-4 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5$ の $-4 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x + 3)(x - 1) = 0$

$x = -3, 1$

次に、与えられた区間 $-4 \le x \le 2$ における $f(x)$ の値を、$x = -4, -3, 1, 2$ で計算する。

$f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) + 5 = -64 + 48 + 36 + 5 = 25$

$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 5 = -27 + 27 + 27 + 5 = 32$

$f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 5 = 1 + 3 - 9 + 5 = 0$

$f(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - 9(2) + 5 = 8 + 12 - 18 + 5 = 7$

これらの値の中で最大のものと最小のものを探す。

3. 最終的な答え

最大値：32

最小値：0