方程式 $x^3 - 3x - a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

方程式 $x^3 - 3x - a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^3 - 3x - a$ とおきます。

$f(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つためには、$f(x)$ が極大値と極小値を持ち、(極大値) > 0 かつ (極小値) < 0 である必要があります。

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = -1$ のとき、$f'(x)$ は正から負に変わるので、$x = -1$ で極大値をとります。

$x = 1$ のとき、$f'(x)$ は負から正に変わるので、$x = 1$ で極小値をとります。

極大値 $f(-1)$ を計算します。

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - a = -1 + 3 - a = 2 - a$

極小値 $f(1)$ を計算します。

$f(1) = (1)^3 - 3(1) - a = 1 - 3 - a = -2 - a$

異なる3つの実数解を持つための条件は、$f(-1) > 0$ かつ $f(1) < 0$ であることです。

$2 - a > 0$ かつ $-2 - a < 0$

$a < 2$ かつ $a > -2$

$-2 < a < 2$

3. 最終的な答え

$-2 < a < 2$