不等式 $9^n < 100000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $9^n < 100000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $9^n < 100000$ の両辺の常用対数（底が10の対数）をとります。

$$\log_{10}9^n < \log_{10}100000$$

対数の性質 $\log_a x^y = y \log_a x$ より、

$$n \log_{10}9 < \log_{10}100000$$

$9=3^2$ より、$\log_{10}9 = \log_{10}3^2 = 2 \log_{10}3$。また、$100000 = 10^5$ より、$\log_{10}100000 = \log_{10}10^5 = 5$。したがって、

$$n (2 \log_{10}3) < 5$$

$\log_{10}3 = 0.4771$ を代入すると、

$$n (2 \times 0.4771) < 5$$

$$0.9542n < 5$$

$$n < \frac{5}{0.9542}$$

$$n < 5.2398$$

$n$ は整数なので、$n$ の最大値は5となる。

3. 最終的な答え

5