$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき、関数 $y = x^2 + 2x - 1$ の平均変化率を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき、関数 $y = x^2 + 2x - 1$ の平均変化率を求めよ。

2. 解き方の手順

平均変化率は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められます。

まず、$x$ が $a$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(a) = a^2 + 2a - 1$

次に、$x$ が $b$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(b) = b^2 + 2b - 1$

$x$ の増加量は $b - a$ です。

$y$ の増加量は $y(b) - y(a) = (b^2 + 2b - 1) - (a^2 + 2a - 1) = b^2 + 2b - 1 - a^2 - 2a + 1 = b^2 - a^2 + 2b - 2a$ です。

したがって、平均変化率は次のようになります。

$\frac{y(b) - y(a)}{b - a} = \frac{b^2 - a^2 + 2b - 2a}{b - a}$

$b^2 - a^2$ を因数分解すると $(b - a)(b + a)$ となります。

$2b - 2a$ を因数分解すると $2(b - a)$ となります。

よって、平均変化率は次のようになります。

$\frac{(b - a)(b + a) + 2(b - a)}{b - a} = \frac{(b - a)(b + a + 2)}{b - a}$

$b - a$ で約分すると、平均変化率は $b + a + 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a + b + 2$