3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を何個持つか。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を何個持つか。

2. 解き方の手順

まず、方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ の左辺を $f(x)$ とおきます。

$f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$

次に、$f(x)$ を因数分解することを試みます。$x=1$ を代入すると、

$f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$

したがって、$f(x)$ は $(x-1)$ を因数に持ちます。

組み立て除法または筆算によって、$f(x)$ を $(x-1)$ で割ると、

$f(x) = (x-1)(x^2 + 4x + 4)$

となります。

さらに、2次式 $x^2 + 4x + 4$ を因数分解すると、

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

となるので、

$f(x) = (x-1)(x+2)^2$

となります。

したがって、方程式 $f(x) = 0$ の解は $x=1$ と $x=-2$ (重解) です。

つまり、実数解は $x=1$ と $x=-2$ の2つです。しかし、x=-2は重解なので、異なる実数解の個数を問われている場合、2個が答えとなりますが、実数解の個数は3個とも考えられます。

問題文から重解を考慮しているのか判断が難しいため、$f(x) = 0$の実数解は1と-2なので、実数解は２個と答えます。

3. 最終的な答え

2個