4次方程式 $x^4 - 8x^2 + k = 0$ が異なる4つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - 8x^2 + k = 0$ が異なる4つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた4次方程式を、$t = x^2$ と置いて、$t$ に関する2次方程式に変換する。

$t = x^2$ なので、$x$ が異なる4つの実数解を持つためには、$t$ に関する2次方程式が異なる2つの正の解を持つ必要がある。

$x^4 - 8x^2 + k = 0$

$t = x^2$ と置くと、$t^2 - 8t + k = 0$ となる。

この2次方程式が異なる2つの正の解を持つ条件は以下の通りである。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 2つの解の和 $> 0$

(3) 2つの解の積 $> 0$

(1) 判別式 $D > 0$ について

$D = (-8)^2 - 4(1)(k) = 64 - 4k > 0$

$4k < 64$

$k < 16$

(2) 2つの解の和 $> 0$ について

解と係数の関係より、2つの解の和は $8$ である。

$8 > 0$ となり、これは常に成り立つ。

(3) 2つの解の積 $> 0$ について

解と係数の関係より、2つの解の積は $k$ である。

$k > 0$

したがって、(1), (2), (3) より、$0 < k < 16$ が求める $k$ の範囲である。

3. 最終的な答え

$0 < k < 16$