与えられた連立一次方程式を行列で表し、その解 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ を求める問題です。与えられた方程式は以下の通りです。 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 & 5 \\ -1 & 2 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & -6 & 1 & 4 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を行列で表し、その解 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ を求める問題です。与えられた方程式は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 & 5 \\ -1 & 2 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & -6 & 1 & 4 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 & 5 & | & 1 \\ -1 & 2 & 0 & -1 & -2 & | & 0 \\ 3 & -6 & 1 & 4 & 7 & | & 1 \end{bmatrix}$

次に、行基本変形を用いて、階段行列に変形します。

1. 2行目に1行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 & 5 & | & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 3 & | & 1 \\ 3 & -6 & 1 & 4 & 7 & | & 1 \end{bmatrix}$

2. 3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 & 5 & | & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & -8 & -8 & -8 & | & -2 \end{bmatrix}$

3. 2行目を3で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 & 5 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & -8 & -8 & -8 & | & -2 \end{bmatrix}$

4. 3行目に2行目の8倍を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 & 5 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{2}{3} \end{bmatrix}$

最後の行は $0 = \frac{2}{3}$ を意味するため、この連立一次方程式は解を持ちません。

3. 最終的な答え

この連立一次方程式は解を持たない。