問題は3つのパートに分かれています。 (1) 数が有理数か無理数かを判定する問題。 (2) 空欄に当てはまる言葉を選ぶ問題。 (3) 連立一次方程式を解く問題。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

(1) 数が有理数か無理数かを判定する問題。

(2) 空欄に当てはまる言葉を選ぶ問題。

(3) 連立一次方程式を解く問題。

2. 解き方の手順

(1) 有理数・無理数の判定

* (ア) $\pi$ (円周率) は無理数です。

* (イ) $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ は有理数です。

* (ウ) $e$ (ネイピア数) は無理数です。

(2) 空欄補充

* 「2の倍数は、6の倍数であるための」は、十分条件です。6の倍数は必ず2の倍数ですが、2の倍数が必ずしも6の倍数とは限らないため。

* 「2の倍数である自然数は、有理数であるための」は、必要条件です。自然数は有理数ですが、有理数全てが自然数とは限らないため。

* 「関数 $f(x)$ がある $x=a$ において極大値 $f(a) = v$ を持つことは、その値 $v$ がすべての定義域において最大値であるための」は、必要条件です。極大値は局所的な最大値であり、全体として最大とは限らないため。

(3) 連立一次方程式を解く

(1)

$x + 2y = 3$

$2x + y = 3$

1つ目の式を2倍すると $2x + 4y = 6$ になります。

2つ目の式からこれを引くと、 $3y = 3$ となり、$y = 1$ が得られます。

$y=1$ を最初の式に代入すると、$x + 2(1) = 3$ となり、$x = 1$ が得られます。

したがって、解は $(x, y) = (1, 1)$ です。

(2)

$2x - y = 2$

$3x + 5y = 3$

1つ目の式を5倍すると $10x - 5y = 10$ になります。

これを2つ目の式に足すと、$13x = 13$ となり、$x = 1$ が得られます。

$x = 1$ を最初の式に代入すると、$2(1) - y = 2$ となり、$y = 0$ が得られます。

したがって、解は $(x, y) = (1, 0)$ です。

(3)

$x - y + z = -2$

$2x + 5y + z = 7$

$x + y + z = 0$

3つ目の式から1つ目の式を引くと、$2y = 2$ となり、$y = 1$ が得られます。

3つ目の式から2つ目の式を引くと、$-x - 4y = -7$ となります。 $y=1$ を代入すると $-x - 4 = -7$ となり、$x = 3$ が得られます。

3つ目の式に $x = 3$ と $y = 1$ を代入すると、$3 + 1 + z = 0$ となり、$z = -4$ が得られます。

したがって、解は $(x, y, z) = (3, 1, -4)$ です。

3. 最終的な答え

問

1. (ア) 無理数

(イ) 有理数

(ウ) 無理数

問

2. ア: 必要条件

イ: 十分条件

ウ: 必要条件

問

3. (1) (ア, イ) = (1, 1)

(2) (ウ, エ) = (1, 0)

(3) (オ, カ, キ) = (3, 1, 4)