与えられた連立一次方程式を解き、$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ を求めます。与えられた方程式は、行列とベクトルを用いて次のように表されます。 $\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ を求めます。与えられた方程式は、行列とベクトルを用いて次のように表されます。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を簡約化します。

1. 第2行から第1行を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

2. 第3行に第1行を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 & 5 & 1 \end{bmatrix}$

3. 第3行に第2行を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

4. 第3行を2で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

簡約化された行列から、次の連立方程式が得られます。

$x_1 - 4x_2 + 3x_3 + 4x_4 - 3x_5 = 0$

$2x_2 - 3x_3 - 3x_4 + x_5 = 0$

$x_3 + x_4 + x_5 = 0$

$x_4$ と $x_5$ を自由変数として、$x_3$ を求めます。

$x_3 = -x_4 - x_5$

次に、$x_2$ を求めます。

$2x_2 = 3x_3 + 3x_4 - x_5 = 3(-x_4 - x_5) + 3x_4 - x_5 = -3x_4 - 3x_5 + 3x_4 - x_5 = -4x_5$

$x_2 = -2x_5$

最後に、$x_1$ を求めます。

$x_1 = 4x_2 - 3x_3 - 4x_4 + 3x_5 = 4(-2x_5) - 3(-x_4 - x_5) - 4x_4 + 3x_5 = -8x_5 + 3x_4 + 3x_5 - 4x_4 + 3x_5 = -x_4 - 2x_5$

3. 最終的な答え

解は次のようになります。

$x_1 = -x_4 - 2x_5$

$x_2 = -2x_5$

$x_3 = -x_4 - x_5$

ここで、$x_4$ と $x_5$ は任意の実数です。したがって、解ベクトルは、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_4 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$