方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ について、以下の小問に答える。 (1) $x^2 - x - 6$ の値が負になる $x$ の範囲を求める。 (2) (1)で求めた範囲において、$|x^2 - x - 6| = 2x$ を満たす $x$ を求める。 (3) $x^2 - x - 6 = 2x$ を満たす $x$ を求める。 さらに、$|x^2 - x - 6| = 2x$ を満たす $x$ の個数を求める。

## 問4

1. **問題の内容**

方程式 $|x^2 - x - 6| = 2x$ について、以下の小問に答える。

(1) $x^2 - x - 6$ の値が負になる $x$ の範囲を求める。

(2) (1)で求めた範囲において、$|x^2 - x - 6| = 2x$ を満たす $x$ を求める。

(3) $x^2 - x - 6 = 2x$ を満たす $x$ を求める。

さらに、$|x^2 - x - 6| = 2x$ を満たす $x$ の個数を求める。

2. **解き方の手順**

(1) $x^2 - x - 6 < 0$ となる $x$ の範囲を求める。

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ より、$(x - 3)(x + 2) < 0$ となるのは $-2 < x < 3$ のとき。

したがって、(ア)は-2、(イ)は3。

(2) $-2 < x < 3$ のとき、$|x^2 - x - 6| = -x^2 + x + 6$ であるから、

$-x^2 + x + 6 = 2x$ を解く。

$x^2 + x - 6 = 0$ より、$(x + 3)(x - 2) = 0$ 。

したがって、$x = -3, 2$ 。

$-2 < x < 3$ の範囲にあるのは、$x = 2$ 。

したがって、(ウ)は2。

(3) $x^2 - x - 6 = 2x$ を解く。

$x^2 - 3x - 6 = 0$ を解の公式で解く。

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

したがって、(オ)は3、(※)は33、(エ)は2。

$|x^2 - x - 6| = 2x$ が成立する $x$ の値を考える。

$x^2 - x - 6$ の値が負ではない範囲は、$x \leq -2$ または $x \geq 3$ である。

$x = 2$ は $|x^2 - x - 6| = -x^2 + x + 6 = 2x$ より得られた。

したがって、$x=2$　は $|x^2 - x - 6| = 2x$ を満たす。

$x \leq -2$ または $x \geq 3$ の範囲では、$|x^2 - x - 6| = x^2 - x - 6 = 2x$ となる。

$x^2 - 3x - 6 = 0$ を解くと、$x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} > 3$

$x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} < -2$

したがって、$|x^2 - x - 6| = 2x$ を満たす $x$ は、$x = 2, \frac{3 + \sqrt{33}}{2}, \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$ の3つ存在する。

しかし、$x \geq 0$ より、$x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}, 2$

3. **最終的な答え**

(ア): -2

(イ): 3

(ウ): 2

(オ): 3

(※): 33

(エ): 2

(カ): 2

## 問5

1. **問題の内容**

ある財・サービス市場の需要曲線 $P = 18 - 2Q$ と供給曲線 $P = Q$ について、以下の小問に答える。

(1) 完全競争市場における均衡価格 $P^*$、取引量 $Q^*$、消費者余剰、生産者余剰を求める。

(2) 独占市場における企業の収入、費用、供給量 $Q^m$、利潤を求める。

2. **解き方の手順**

(1) 完全競争市場では、需要曲線と供給曲線の交点で均衡が達成される。

$18 - 2Q = Q$ より、$3Q = 18$ 、$Q = 6$ 。

したがって、$Q^* = 6$ 、$P^* = 6$ 。

消費者余剰は、需要曲線と均衡価格の間の面積であるから、$\frac{1}{2} \times (18 - 6) \times 6 = 36$ 。

生産者余剰は、供給曲線と均衡価格の間の面積であるから、$\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$ 。

(2) 企業の収入は $P(Q) \times Q = (18 - 2Q) \times Q = 18Q - 2Q^2$ 。

したがって、(ウ)は-2、(エ)は18。

企業の費用は $C(Q) = \frac{1}{2}Q^2$ 。

利潤は、収入 - 費用 であり、

$18Q - 2Q^2 - \frac{1}{2}Q^2 = 18Q - \frac{5}{2}Q^2$ 。

利潤を最大化するために、利潤を $Q$ で微分して0とおく。

$18 - 5Q = 0$ より、$Q^m = \frac{18}{5}$ 。

利潤は $18 \times \frac{18}{5} - \frac{5}{2} \times (\frac{18}{5})^2 = \frac{324}{5} - \frac{5 \times 324}{2 \times 25} = \frac{324}{5} - \frac{324}{10} = \frac{324}{10} = \frac{162}{5}$ 。

3. **最終的な答え**

(ア): 6

(イ): 6

(※※): 36

(☆☆): 18

(ウ): -2

(エ): 18

(カ): 18

(キ): 5

(▽▽): 162/5