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次の極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^x$

解析学極限指数関数e微積分
2025/7/29

1. 問題の内容

次の極限を計算する問題です。
lim⁡x→∞(1−2x)x\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^x

2. 解き方の手順

この極限は、eeの定義を利用して計算できます。
一般に、lim⁡x→∞(1+ax)x=ea\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a が成り立ちます。
今回の問題では、a=−2a = -2 と考えることができます。
以下のように変形します。
lim⁡x→∞(1−2x)x=e−2\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^x = e^{-2}

3. 最終的な答え

lim⁡x→∞(1−2x)x=e−2=1e2\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}

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