$f(x) = x^3 + ax^2 + ax + 1$ が $x = \alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) で極値をとり、$f(\alpha) + f(\beta) = 2$ を満たすとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + ax^2 + ax + 1$ が $x = \alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) で極値をとり、$f(\alpha) + f(\beta) = 2$ を満たすとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + a$

$x = \alpha, \beta$ で極値をとるので、$f'(\alpha) = 0$ かつ $f'(\beta) = 0$ が成り立ちます。つまり、$\alpha$ と $\beta$ は $f'(x) = 0$ の解です。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{2a}{3}$

$\alpha \beta = \frac{a}{3}$

次に、$f(\alpha) + f(\beta) = 2$ を計算します。

$f(\alpha) + f(\beta) = (\alpha^3 + a\alpha^2 + a\alpha + 1) + (\beta^3 + a\beta^2 + a\beta + 1) = 2$

$\alpha^3 + \beta^3 + a(\alpha^2 + \beta^2) + a(\alpha + \beta) + 2 = 2$

$\alpha^3 + \beta^3 + a(\alpha^2 + \beta^2) + a(\alpha + \beta) = 0$

ここで、$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ より、$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

また、$(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3$ より、$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

これらの関係式を代入すると、

$(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) + a((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) + a(\alpha + \beta) = 0$

$\left(-\frac{2a}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{a}{3}\right)\left(-\frac{2a}{3}\right) + a\left(\left(-\frac{2a}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{a}{3}\right)\right) + a\left(-\frac{2a}{3}\right) = 0$

$-\frac{8a^3}{27} + \frac{2a^2}{3} + a\left(\frac{4a^2}{9} - \frac{2a}{3}\right) - \frac{2a^2}{3} = 0$

$-\frac{8a^3}{27} + \frac{4a^3}{9} - \frac{2a^2}{3} = 0$

$-\frac{8a^3}{27} + \frac{12a^3}{27} - \frac{18a^2}{27} = 0$

$4a^3 - 18a^2 = 0$

$2a^2(2a - 9) = 0$

よって、$a = 0$ または $a = \frac{9}{2}$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + a$ なので、$a=0$のとき、$f'(x) = 3x^2$となり、$x=0$で極値を持たない。よって、$a\neq0$

したがって、$a = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{9}{2}$