2つの直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とする双曲線があり、そのグラフが点 $(3, 2)$ を通る時、その関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とする双曲線があり、そのグラフが点 $(3, 2)$ を通る時、その関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x=2$ であることから、$cx+d = 0$ となる $x$ の値が $2$ である必要があるので、

$2c + d = 0$

つまり、$d = -2c$ となります。

次に、漸近線が $y=-1$ であることから、$\frac{a}{c} = -1$ となり、$a=-c$ となります。

したがって、関数は $y = \frac{-cx+b}{cx-2c}$ と表せます。

これを $y = \frac{-x + \frac{b}{c}}{x-2}$ と変形します。

点 $(3, 2)$ を通るので、この点を代入すると、

$2 = \frac{-3 + \frac{b}{c}}{3-2} = -3 + \frac{b}{c}$

$\frac{b}{c} = 5$

したがって、$b = 5c$ となります。

よって、$y = \frac{-cx + 5c}{cx - 2c} = \frac{-x + 5}{x - 2}$

$a = -c, b=5c, d = -2c$ であり、$c$ は任意の値を取れるので、$c = -1$ とすると、$a = 1, b = -5, c = -1, d = 2$ となり、

$y = \frac{x - 5}{-x + 2}$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{x-5}{-x+2}$

（もしくは $y = \frac{-x+5}{x-2}$）