$y$ 軸と直線 $y=-1$ を漸近線として、点 $(1, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を、 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

$y$ 軸と直線 $y=-1$ を漸近線として、点 $(1, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を、 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

漸近線が $y$ 軸であることから、$x=0$ が定義域に含まれない。したがって、$cx+d=0$ の解が $x=0$ となる必要があるので、$d=0$となる。

よって、求める関数は $y = \frac{ax+b}{cx}$ となる。

$y = \frac{ax+b}{cx} = \frac{a}{c} + \frac{b}{cx}$ と変形できる。

漸近線が $y = -1$ であるから、$\frac{a}{c} = -1$。したがって、$a = -c$。

求める関数は $y = \frac{-cx+b}{cx}$ となる。

この関数が点 $(1, 2)$ を通るので、$x=1, y=2$ を代入すると、

$2 = \frac{-c+b}{c}$

$2c = -c + b$

$b = 3c$

したがって、求める関数は $y = \frac{-cx+3c}{cx}$ となる。

$c$ は $0$ でない任意の値をとることができる。例えば、$c=1$ とすると、$y = \frac{-x+3}{x}$ となる。

一般的に、$c$ で約分して $y = \frac{-x+3}{x}$ としてもよい。

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x+3}{x}$