不等式 $\frac{4x}{2x-1} \ge 2x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{4x}{2x-1} \ge 2x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $(2x-1)^2$をかけます。ただし、$x=\frac{1}{2}$は定義域に含まれないので、$2x-1 \ne 0$であることに注意します。

$(2x-1)^2$は常に正なので、不等号の向きは変わりません。

$4x(2x-1) \ge 2x(2x-1)^2$

$4x(2x-1) - 2x(2x-1)^2 \ge 0$

$2x(2x-1)[2-(2x-1)] \ge 0$

$2x(2x-1)(2-2x+1) \ge 0$

$2x(2x-1)(3-2x) \ge 0$

$x(2x-1)(3-2x) \ge 0$

$x(2x-1)(2x-3) \le 0$

$x(x-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2}) \le 0$

ここで、$f(x) = x(x-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2})$とおきます。

$f(x)=0$ となるのは $x=0$, $x=\frac{1}{2}$, $x=\frac{3}{2}$ のときです。

これら3つの値で数直線を分割し、各区間で$f(x)$の符号を調べます。

- $x < 0$ のとき、$f(x) < 0$

- $0 < x < \frac{1}{2}$ のとき、$f(x) > 0$

- $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ のとき、$f(x) < 0$

- $x > \frac{3}{2}$ のとき、$f(x) > 0$

$f(x) \le 0$となる範囲は、 $x \le 0$ または $\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$ です。

ただし、$x=\frac{1}{2}$は定義域に含まれないので、$\frac{1}{2} < x \le \frac{3}{2}$ となります。

したがって、解は $x \le 0$ または $\frac{1}{2} < x \le \frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$x \le 0, \frac{1}{2} < x \le \frac{3}{2}$