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関数 $y = -x^2 + 5x + 1$ について、$x$ の値が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率を求めます。

解析学平均変化率関数二次関数微分
2025/4/5

1. 問題の内容

関数 y=−x2+5x+1y = -x^2 + 5x + 1 について、xx の値が aa から a+ha+h まで変化するときの平均変化率を求めます。

2. 解き方の手順

平均変化率は、yの増加量xの増加量\frac{yの増加量}{xの増加量} で求められます。
まず、x=ax = a のときの yy の値を計算します。
y(a)=−a2+5a+1y(a) = -a^2 + 5a + 1
次に、x=a+hx = a+h のときの yy の値を計算します。
y(a+h)=−(a+h)2+5(a+h)+1=−(a2+2ah+h2)+5a+5h+1=−a2−2ah−h2+5a+5h+1y(a+h) = -(a+h)^2 + 5(a+h) + 1 = -(a^2 + 2ah + h^2) + 5a + 5h + 1 = -a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1
yy の増加量は、y(a+h)−y(a)y(a+h) - y(a) で求められます。
y(a+h)−y(a)=(−a2−2ah−h2+5a+5h+1)−(−a2+5a+1)=−2ah−h2+5hy(a+h) - y(a) = (-a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1) - (-a^2 + 5a + 1) = -2ah - h^2 + 5h
xx の増加量は、a+h−a=ha+h - a = h です。
したがって、平均変化率は、
−2ah−h2+5hh=h(−2a−h+5)h=−2a−h+5\frac{-2ah - h^2 + 5h}{h} = \frac{h(-2a - h + 5)}{h} = -2a - h + 5

3. 最終的な答え

−2a−h+5-2a - h + 5

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