曲線 $y = x\sqrt{x}$ （$0 \le x \le 4$）の長さを求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x\sqrt{x}$ （$0 \le x \le 4$）の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さは次の積分で求められます。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、$y = x\sqrt{x} = x^{3/2}$ を$x$で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (\frac{3}{2} \sqrt{x})^2 = 1 + \frac{9}{4}x$

したがって、求める曲線の長さは次の積分で与えられます。

$L = \int_0^4 \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$

置換積分を行います。$u = 1 + \frac{9}{4}x$ とおくと、$du = \frac{9}{4}dx$ となり、$dx = \frac{4}{9}du$です。

積分範囲も変更します。

$x=0$のとき、$u = 1 + \frac{9}{4}(0) = 1$

$x=4$のとき、$u = 1 + \frac{9}{4}(4) = 1 + 9 = 10$

よって、積分は次のようになります。

$L = \int_1^{10} \sqrt{u} \frac{4}{9} du = \frac{4}{9} \int_1^{10} u^{1/2} du$

$\int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2}$ なので、

$L = \frac{4}{9} [\frac{2}{3} u^{3/2}]_1^{10} = \frac{8}{27} [u^{3/2}]_1^{10} = \frac{8}{27} (10^{3/2} - 1^{3/2})$

$L = \frac{8}{27} (10\sqrt{10} - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27} (10\sqrt{10} - 1)$