曲線 $y = x^3 + 2$ 上にない点 $(0, 18)$ から引かれた接線の方程式と、接点の座標を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 2$ 上にない点 $(0, 18)$ から引かれた接線の方程式と、接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を $(t, t^3 + 2)$ とおく。

(2) $y = x^3 + 2$ を微分すると $y' = 3x^2$ である。

(3) よって、接点 $(t, t^3 + 2)$ における接線の傾きは $3t^2$ となる。

(4) 接線の方程式は $y - (t^3 + 2) = 3t^2 (x - t)$ と表せる。

(5) この接線が点 $(0, 18)$ を通ることから、 $18 - (t^3 + 2) = 3t^2 (0 - t)$ が成り立つ。

(6) これを整理すると、 $16 - t^3 = -3t^3$ となり、$2t^3 = -16$ から $t^3 = -8$ となる。

(7) よって $t = -2$ である。

(8) 接点の座標は $(-2, (-2)^3 + 2) = (-2, -8 + 2) = (-2, -6)$ となる。

(9) 接線の方程式は $y - (-6) = 3(-2)^2 (x - (-2))$、すなわち $y + 6 = 12(x + 2)$ となる。

(10) これを整理すると、$y = 12x + 24 - 6$ より、$y = 12x + 18$ となる。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 12x + 18$ であり、接点の座標は $(-2, -6)$ である。