関数 $y = (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3x + 1)$ を微分して $y'$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3x + 1)$ を微分して $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

3つの関数の積の微分を計算します。

$u = x^3 + 2x$, $v = x^2 + x + 2$, $w = 3x + 1$ とおくと、$y = uvw$ です。

積の微分公式は、

$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

です。

まず、それぞれの関数を微分します。

$u' = 3x^2 + 2$

$v' = 2x + 1$

$w' = 3$

これらを積の微分公式に代入します。

$y' = (3x^2 + 2)(x^2 + x + 2)(3x + 1) + (x^3 + 2x)(2x + 1)(3x + 1) + (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3)$

あとはこれを展開して整理します。

$y' = (3x^2 + 2)(3x^3 + 4x^2 + 7x + 2) + (x^3 + 2x)(6x^2 + 5x + 1) + (x^3 + 2x)(3x^2 + 3x + 6)$

$y' = (9x^5 + 12x^4 + 21x^3 + 6x^2 + 6x^3 + 8x^2 + 14x + 4) + (6x^5 + 5x^4 + x^3 + 12x^3 + 10x^2 + 2x) + (3x^5 + 3x^4 + 6x^3 + 6x^3 + 6x^2 + 12x)$

$y' = 9x^5 + 12x^4 + 27x^3 + 14x^2 + 14x + 4 + 6x^5 + 5x^4 + 13x^3 + 10x^2 + 2x + 3x^5 + 3x^4 + 12x^3 + 6x^2 + 12x$

$y' = (9 + 6 + 3)x^5 + (12 + 5 + 3)x^4 + (27 + 13 + 12)x^3 + (14 + 10 + 6)x^2 + (14 + 2 + 12)x + 4$

$y' = 18x^5 + 20x^4 + 52x^3 + 30x^2 + 28x + 4$

3. 最終的な答え

$y' = 18x^5 + 20x^4 + 52x^3 + 30x^2 + 28x + 4$