$n$ を自然数とするとき、関数 $y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、関数 $y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つける。

$y = e^{2x}$

1階導関数: $y' = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$

2階導関数: $y'' = \frac{d^2}{dx^2} e^{2x} = \frac{d}{dx} (2e^{2x}) = 2(2e^{2x}) = 2^2e^{2x}$

3階導関数: $y''' = \frac{d^3}{dx^3} e^{2x} = \frac{d}{dx} (2^2e^{2x}) = 2^2(2e^{2x}) = 2^3e^{2x}$

同様に考えると、第 $n$ 次導関数は $2^n e^{2x}$ と推測できる。

数学的帰納法で証明する。

(1) $n=1$ のとき、 $y' = 2^1 e^{2x} = 2e^{2x}$ で成立する。

(2) $n=k$ のとき、 $y^{(k)} = 2^k e^{2x}$ が成立すると仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき、

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} (2^k e^{2x}) = 2^k (2e^{2x}) = 2^{k+1} e^{2x}$

よって、$n=k+1$ でも成立する。

したがって、数学的帰納法により、$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数は $2^n e^{2x}$ である。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$