曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 $(1, 6)$ における接線の方程式と、接点の座標を求める問題です。与えられた点 $(1, 1)$ は曲線上の点ではないため、問題文に誤りがある可能性があります。ここでは、点 (1, 6) での接線を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 $(1, 6)$ における接線の方程式と、接点の座標を求める問題です。与えられた点 $(1, 1)$ は曲線上の点ではないため、問題文に誤りがある可能性があります。ここでは、点 (1, 6) での接線を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = x^3 + 5x$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 3x^2 + 5$

次に、$x=1$ における導関数の値を求めます。これが点 $(1, 6)$ における接線の傾きになります。

$y'(1) = 3(1)^2 + 5 = 3 + 5 = 8$

したがって、接線の傾きは8です。

点 $(1, 6)$ を通り、傾きが8の直線の方程式を求めます。これは、点傾斜式を使って求めることができます。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここに、$(x_1, y_1) = (1, 6)$ と $m = 8$ を代入すると、

$y - 6 = 8(x - 1)$

$y - 6 = 8x - 8$

$y = 8x - 2$

したがって、接線の方程式は $y = 8x - 2$ です。

接点の座標は $(1, 6)$ です。

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = 8x - 2$

接点の座標: $(1, 6)$