$y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。

1. 問題の内容

$y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

まず、いくつか導関数を計算して、規則性を見つけます。

1階微分:

$y' = \frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}$

2階微分:

$y'' = \frac{d}{dx} (-e^{-x}) = e^{-x}$

3階微分:

$y''' = \frac{d}{dx} (e^{-x}) = -e^{-x}$

4階微分:

$y^{(4)} = \frac{d}{dx} (-e^{-x}) = e^{-x}$

このように、$y$ を微分すると、$e^{-x}$ に $-1$ が掛けられるか掛けられないかの繰り返しになります。

$n$ が奇数のとき、導関数は $-e^{-x}$ となり、$n$ が偶数のとき、導関数は $e^{-x}$ となることがわかります。

これは、$(-1)^n e^{-x}$ と表すことができます。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$