問題は、$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{1}{x})\sin{\frac{1}{x}}$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{1}{x})\sin{\frac{1}{x}}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x} = t$ と置換します。$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{1}{x})\sin{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0} (\frac{1}{t} + t)\sin{t}$

次に、この式を展開します。

$\lim_{t \to 0} (\frac{1}{t} + t)\sin{t} = \lim_{t \to 0} (\frac{\sin{t}}{t} + t\sin{t})$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin{t}}{t} = 1$ であることと、$\lim_{t \to 0} t\sin{t} = 0 \cdot 0 = 0$ であることを利用します。

したがって、

$\lim_{t \to 0} (\frac{\sin{t}}{t} + t\sin{t}) = \lim_{t \to 0} \frac{\sin{t}}{t} + \lim_{t \to 0} t\sin{t} = 1 + 0 = 1$

3. 最終的な答え

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