$z = g(y)$、$y = f(x)$であり、$f$、$g$ がともに2回微分可能であるとき、以下の式が成り立つことを示す問題です。 $$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$$

1. 問題の内容

$z = g(y)$、$y = f(x)$であり、$f$、$g$ がともに2回微分可能であるとき、以下の式が成り立つことを示す問題です。

$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$$

2. 解き方の手順

まず、$z$ を $x$ で1回微分します。合成関数の微分法則（連鎖律）を用いると、

$$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$$

となります。

次に、$\frac{dz}{dx}$ をもう一度 $x$ で微分します。ここで、積の微分法則と連鎖律を使います。

$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx} \right)$$

$$= \frac{d}{dx} \left( \frac{dz}{dy} \right) \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dy} \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)$$

$\frac{d}{dx} \left( \frac{dz}{dy} \right)$ は、連鎖律を用いて、

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{dz}{dy} \right) = \frac{d}{dy} \left( \frac{dz}{dy} \right) \frac{dy}{dx} = \frac{d^2z}{dy^2} \frac{dy}{dx}$$

と計算できます。

したがって、

$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \frac{dy}{dx} \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$$

$$= \frac{d^2z}{dy^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$$

が得られます。

3. 最終的な答え

$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$$