$\lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $1^{\infty}$ の形をしているので、自然対数を使って計算します。

まず、

$y = (1-3x)^{\frac{1}{x}}$

とおきます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln (1-3x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln (1-3x)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1-3x)}{x}$

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1-3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-3}{1-3x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{-3}{1-3x} = \frac{-3}{1-0} = -3$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \ln y = -3$

$\ln (\lim_{x \to 0} y) = -3$

$\lim_{x \to 0} y = e^{-3}$

3. 最終的な答え

$e^{-3}$