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極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{\log(1+2x)}$ を求めよ。

解析学極限ロピタルの定理指数関数対数関数
2025/7/31

1. 問題の内容

極限 lim⁡x→0e2x−1log⁡(1+2x)\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{\log(1+2x)} を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 00\frac{0}{0} の形をしているので、ロピタルの定理を用いることができます。
まず、分子と分母をそれぞれ微分します。
分子の微分: ddx(e2x−1)=2e2x\frac{d}{dx} (e^{2x} - 1) = 2e^{2x}
分母の微分: ddx(log⁡(1+2x))=21+2x\frac{d}{dx} (\log(1+2x)) = \frac{2}{1+2x}
したがって、
lim⁡x→0e2x−1log⁡(1+2x)=lim⁡x→02e2x21+2x=lim⁡x→0e2x(1+2x)\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{\log(1+2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{\frac{2}{1+2x}} = \lim_{x \to 0} e^{2x} (1+2x)
x→0x \to 0 のとき、e2x→e0=1e^{2x} \to e^0 = 1 であり、(1+2x)→1+2(0)=1(1+2x) \to 1+2(0) = 1 なので、
lim⁡x→0e2x(1+2x)=1⋅1=1\lim_{x \to 0} e^{2x} (1+2x) = 1 \cdot 1 = 1

3. 最終的な答え

1
選択肢には正解がないので、

6. 選択肢に正解が無い が答えとなります。

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