極限 $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$e^x$ と $e^{-x}$ をそれぞれマクローリン展開します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$

これらから $e^x - e^{-x}$ を計算します。

$e^x - e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots) = 2x + 2\frac{x^3}{3!} + \dots = 2x + \frac{x^3}{3} + \dots$

よって、$e^x - e^{-x} \approx 2x$ ($x \to 0$ のとき)

$(e^x - e^{-x})^2 \approx (2x)^2 = 4x^2$ ($x \to 0$ のとき)

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{4x^2}{x^2} = 4$

別の解法：

ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形である。

分子と分母をそれぞれ微分する。

$\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x})^2 = 2(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})$

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

$\lim_{x \to 0} \frac{2(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})}{x}$

これも $\frac{0}{0}$ の不定形である。

分子と分母をそれぞれ微分する。

$\frac{d}{dx}((e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})) = (e^x + e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})^2$

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x + e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})^2}{1} = (1+1)^2 + (1-1)^2 = 2^2 + 0 = 4$

3. 最終的な答え

4