極限 $\lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{2}{n}} - 1)$ を求める。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{2}{n}} - 1)$ を求める。

2. 解き方の手順

$t = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $t \to 0$ である。したがって、与えられた極限は

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\lim_{t \to 0} \frac{e^{2t} - 1}{t}

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と書き換えられる。

ここで、$e^x$ のマクローリン展開

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e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots

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を用いると、

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e^{2t} = 1 + 2t + \frac{(2t)^2}{2!} + \frac{(2t)^3}{3!} + \dots

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となる。したがって、

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e^{2t} - 1 = 2t + \frac{4t^2}{2!} + \frac{8t^3}{3!} + \dots

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よって、

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\frac{e^{2t} - 1}{t} = 2 + \frac{4t}{2!} + \frac{8t^2}{3!} + \dots

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したがって、

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\lim_{t \to 0} \frac{e^{2t} - 1}{t} = 2

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別の解法として、ロピタルの定理を用いることもできる。

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\lim_{t \to 0} \frac{e^{2t} - 1}{t}

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の形は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理より、

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\lim_{t \to 0} \frac{e^{2t} - 1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{dt} (e^{2t} - 1)}{\frac{d}{dt} t} = \lim_{t \to 0} \frac{2e^{2t}}{1} = 2e^0 = 2

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3. 最終的な答え

2