$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{2}{3x})^{3x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{2}{3x})^{3x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、基本的な極限の公式を利用します。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

または、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{a}{n})^n = e^a$

与えられた式を上記の公式に合うように変形します。

$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{2}{3x})^{3x}$

ここで、$n = \frac{3x}{-2}$ と置くと、$-\frac{2}{3x} = \frac{1}{n}$　となります。

また、$3x = -2n$　となります。

したがって、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{-2n} = \lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{1}{n})^{n}]^{-2}$

$x \to \infty$ のとき、$n \to -\infty$ となりますが、$n \to \infty$ としても同様に考えられます。

なぜなら、$\lim_{n \to -\infty} (1 + \frac{1}{n})^n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^{-n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n-1}{n})^{-n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n-1})^{n} = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n-1})^{n} = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n-1})^{n-1} (1+\frac{1}{n-1})^{1} = e$ となるからです。

したがって、$\lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{1}{n})^{n}]^{-2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e^2}$

選択肢の1が正解です。