問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求めることです。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、以下の手順を使用します。

まず、$y = (1 - \frac{2}{x})^x$ と置きます。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (1 - \frac{2}{x})^x = x \ln (1 - \frac{2}{x})$

となります。

次に、$x \to \infty$ のときの $\ln y$ の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} x \ln (1 - \frac{2}{x})$

ここで、$\frac{2}{x} = t$ と置くと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。また、$x = \frac{2}{t}$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x \ln (1 - \frac{2}{x}) = \lim_{t \to 0} \frac{2}{t} \ln (1 - t) = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 - t)}{t}$

ここで、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 - t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{-1}{1 - t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{-1}{1 - t} = -1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 2(-1) = -2$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = -2$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} y = e^{-2}$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x = e^{-2}$