$\lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{2}{n}} - 1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{2}{n}} - 1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

変数変換を行います。$t = \frac{1}{n}$とすると、$n \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{2}{n}} - 1) = \lim_{t \to 0} \frac{e^{2t} - 1}{t}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{t \to 0} \frac{e^{2t} - 1}{t} = \lim_{t \to 0} 2 \cdot \frac{e^{2t} - 1}{2t}$

$u = 2t$ とおくと、$t \to 0$ のとき $u \to 0$ なので、

$\lim_{t \to 0} 2 \cdot \frac{e^{2t} - 1}{2t} = 2 \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 2 \cdot 1 = 2$

あるいは、ロピタルの定理を利用することもできます。

$\lim_{t \to 0} \frac{e^{2t} - 1}{t}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、分子と分母をそれぞれ微分すると

$\lim_{t \to 0} \frac{2e^{2t}}{1} = 2e^0 = 2$

3. 最終的な答え

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