$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)}$ を求める問題です。

解析学極限ロピタルの定理指数関数対数関数
2025/7/29

1. 問題の内容

limx0ex1log(1+2x)\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)} を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、x を 0 に近づけたとき、分子も分母も 0 に近づく 00\frac{0}{0} の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。
ロピタルの定理とは、limxaf(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}00\frac{0}{0} または \frac{\infty}{\infty} の不定形であるとき、f(x)f'(x) および g(x)g'(x) が存在し、かつ limxaf(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} が存在すれば、
limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
が成り立つというものです。
まず、分子 f(x)=ex1f(x) = e^x - 1 の導関数を求めます。
f(x)=exf'(x) = e^x
次に、分母 g(x)=log(1+2x)g(x) = \log(1 + 2x) の導関数を求めます。
g(x)=21+2xg'(x) = \frac{2}{1 + 2x}
したがって、
limx0ex1log(1+2x)=limx0ex21+2x=limx0ex(1+2x)2\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\frac{2}{1 + 2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x(1 + 2x)}{2}
x0x \to 0 のとき、ex1e^x \to 1 であり、1+2x11 + 2x \to 1 であるから、
limx0ex(1+2x)2=1(1+20)2=112=12\lim_{x \to 0} \frac{e^x(1 + 2x)}{2} = \frac{1 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

12\frac{1}{2}

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