$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)}$ を求める問題です。解析学極限ロピタルの定理指数関数対数関数2025/7/291. 問題の内容limx→0ex−1log(1+2x)\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)}limx→0log(1+2x)ex−1 を求める問題です。2. 解き方の手順この極限は、x を 0 に近づけたとき、分子も分母も 0 に近づく 00\frac{0}{0}00 の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。ロピタルの定理とは、limx→af(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}limx→ag(x)f(x) が 00\frac{0}{0}00 または ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ の不定形であるとき、f′(x)f'(x)f′(x) および g′(x)g'(x)g′(x) が存在し、かつ limx→af′(x)g′(x)\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}limx→ag′(x)f′(x) が存在すれば、limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}limx→ag(x)f(x)=limx→ag′(x)f′(x)が成り立つというものです。まず、分子 f(x)=ex−1f(x) = e^x - 1f(x)=ex−1 の導関数を求めます。f′(x)=exf'(x) = e^xf′(x)=ex次に、分母 g(x)=log(1+2x)g(x) = \log(1 + 2x)g(x)=log(1+2x) の導関数を求めます。g′(x)=21+2xg'(x) = \frac{2}{1 + 2x}g′(x)=1+2x2したがって、limx→0ex−1log(1+2x)=limx→0ex21+2x=limx→0ex(1+2x)2\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\frac{2}{1 + 2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x(1 + 2x)}{2}limx→0log(1+2x)ex−1=limx→01+2x2ex=limx→02ex(1+2x)x→0x \to 0x→0 のとき、ex→1e^x \to 1ex→1 であり、1+2x→11 + 2x \to 11+2x→1 であるから、limx→0ex(1+2x)2=1⋅(1+2⋅0)2=1⋅12=12\lim_{x \to 0} \frac{e^x(1 + 2x)}{2} = \frac{1 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2}limx→02ex(1+2x)=21⋅(1+2⋅0)=21⋅1=213. 最終的な答え12\frac{1}{2}21