関数 $y = x^3 + x^2 - x + 1$ について、点 $(-2, -1)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + x^2 - x + 1$ について、点 $(-2, -1)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = f(x)$ とおくと、

$f(x) = x^3 + x^2 - x + 1$ である。

点 $(-2, -1)$ における接線を求めるには、まず $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める必要がある。

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$

次に、$x = -2$ における $f'(x)$ の値を計算する。これが接線の傾き $m$ となる。

$m = f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 1 = 3(4) - 4 - 1 = 12 - 4 - 1 = 7$

したがって、接線の傾きは $7$ である。

次に、点 $(-2, -1)$ を通り、傾きが $7$ の直線の方程式を求める。

直線の方程式は、一般に $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。

ここで $(x_1, y_1) = (-2, -1)$ であり、$m = 7$ なので、

$y - (-1) = 7(x - (-2))$

$y + 1 = 7(x + 2)$

$y + 1 = 7x + 14$

$y = 7x + 13$

3. 最終的な答え

$y = 7x + 13$