関数 $y = -x^3 + 2x^2 - 3x + 4$ の、点 $(2, -2)$ における法線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^3 + 2x^2 - 3x + 4$ の、点 $(2, -2)$ における法線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = -3x^2 + 4x - 3$

(2) 点 $(2, -2)$ における接線の傾きを求める。

$y'(2) = -3(2)^2 + 4(2) - 3 = -12 + 8 - 3 = -7$

(3) 法線の傾きは、接線の傾きの逆数に負の符号をつけたものである。したがって、法線の傾きを $m$ とすると、

$m = -\frac{1}{y'(2)} = -\frac{1}{-7} = \frac{1}{7}$

(4) 点 $(2, -2)$ を通り、傾きが $\frac{1}{7}$ の直線の方程式を求める。

$y - (-2) = \frac{1}{7}(x - 2)$

$y + 2 = \frac{1}{7}x - \frac{2}{7}$

$y = \frac{1}{7}x - \frac{2}{7} - 2$

$y = \frac{1}{7}x - \frac{2}{7} - \frac{14}{7}$

$y = \frac{1}{7}x - \frac{16}{7}$

3. 最終的な答え

法線の方程式は $y = \frac{1}{7}x - \frac{16}{7}$ である。

または、 $x - 7y - 16 = 0$