関数 $y = -\frac{1}{3}x^3 + 2x + 4$ について、$x = -3$ の点における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{1}{3}x^3 + 2x + 4$ について、$x = -3$ の点における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: $x=-3$ における $y$ の値を求めます。

$x = -3$ を関数 $y = -\frac{1}{3}x^3 + 2x + 4$ に代入します。

$y = -\frac{1}{3}(-3)^3 + 2(-3) + 4 = -\frac{1}{3}(-27) - 6 + 4 = 9 - 6 + 4 = 7$

よって、接点の座標は $(-3, 7)$ です。

ステップ2: 導関数 $y'$ を求めます。

$y = -\frac{1}{3}x^3 + 2x + 4$ を $x$ で微分します。

$y' = -x^2 + 2$

ステップ3: $x = -3$ における導関数の値を求めます。これは接線の傾きを表します。

$y'(-3) = -(-3)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$

よって、接線の傾きは $-7$ です。

ステップ4: 接線の式を求めます。

接線の式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表され、$m$ は傾き、$(x_1, y_1)$ は接点の座標です。

今回は、$m = -7$、$x_1 = -3$、$y_1 = 7$ なので、

$y - 7 = -7(x - (-3))$

$y - 7 = -7(x + 3)$

$y - 7 = -7x - 21$

$y = -7x - 21 + 7$

$y = -7x - 14$

3. 最終的な答え

$y = -7x - 14$