関数 $y = -2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ について、点$(2, -3)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ について、点$(2, -3)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

接線の方程式を求めるには、まず関数の導関数を求め、その導関数に $x = 2$ を代入して接線の傾きを計算する。そして、求めた傾きと点 $(2, -3)$ を使って接線の方程式を求める。

ステップ1: 関数の導関数を求める。

$y = -2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ の導関数 $y'$ は、

$$y' = -6x^2 + 8x - 2$$

ステップ2: 導関数に $x = 2$ を代入して接線の傾きを計算する。

$x = 2$ のとき、

$$y'(2) = -6(2)^2 + 8(2) - 2 = -6(4) + 16 - 2 = -24 + 16 - 2 = -10$$

したがって、接線の傾きは $-10$ である。

ステップ3: 接線の方程式を求める。

接線の方程式は、傾きを $m$、点$(x_1, y_1)$ を通る直線として、

$y - y_1 = m(x - x_1)$ と表せる。

この問題では、$m = -10$、$x_1 = 2$、$y_1 = -3$ なので、

$y - (-3) = -10(x - 2)$

$y + 3 = -10x + 20$

$y = -10x + 20 - 3$

$y = -10x + 17$

3. 最終的な答え

接線の方程式は、$y = -10x + 17$ である。