関数 $y = -2x^3 + 2x^2 + 1$ の、点(1, 1)における法線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^3 + 2x^2 + 1$ の、点(1, 1)における法線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数の導関数を計算します。

$y' = -6x^2 + 4x$

(2) 次に、点(1, 1)における接線の傾きを求めます。これは導関数に $x = 1$ を代入することで得られます。

$y'(1) = -6(1)^2 + 4(1) = -6 + 4 = -2$

(3) 点(1, 1)における法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を反転させたものです。したがって、法線の傾きは $m = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ です。

(4) 最後に、点(1, 1)を通り、傾きが$\frac{1}{2}$の直線の方程式を求めます。点傾き式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いると、$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)$となります。これを整理します。

$y - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$