与えられた関数 $y = -x^3 + 2x^2 + x - 2$ について、$x=2$ における法線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -x^3 + 2x^2 + x - 2$ について、$x=2$ における法線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 4x + 1$

次に、$x=2$ における接線の傾きを求めるために、$y'$ に $x=2$ を代入する。

$y'(2) = -3(2)^2 + 4(2) + 1 = -12 + 8 + 1 = -3$

接線の傾きが -3 であるから、法線の傾きは接線の傾きの逆数の符号を反転させたものになる。したがって、法線の傾き $m$ は

$m = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$

次に、$x=2$ における $y$ の値を求める。

$y(2) = -(2)^3 + 2(2)^2 + 2 - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0$

したがって、点 $(2, 0)$ における法線の方程式は、傾き $m = \frac{1}{3}$ を用いて次のように表される。

$y - 0 = \frac{1}{3}(x - 2)$

$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$